Eulerovo číslo v přírodě

Zdá se vám podivné připíjet písmenu e? Jenže v tomto případě se jedná o symbol pro Eulerovo číslo, a to určitě není nijak obyčejné.

Eulerovo číslo a studenti

Své o tom vědí i studenti tří středních škol v České republice. Ráda bych vám teď trochu poodhalila roušku tajemství spojení e a zmíněných studentů. Protože mě a mé studenty oslovuje networking čím dál více, rozhodla jsem se tento školní rok oslavit další slavnou matematickou konstantu, tedy právě Eulerovo číslo. Byla to větší výzva, než číslo Ludolfovo. Museli jsme zabrousit do světa teorie grafů, logaritmů a derivací.

S panem Eulerem a jeho teorií grafů nás seznámili studenti Štěpánky Baierlové ze SOŠ pro administrativu EU z oboru mediální komunikace. Štěpánčiným studentům také vděčíme za grafické schéma prezentací všech tří škol, které nás celou akcí provázely.

Prostřední část byla na mně a mých studentech SPŠ Česká Lípa oboru IT. Na nás bylo ukázat souvislost oslavovaného iracionálního čísla s pojmem logaritmus, ukázali jsme, že se tato konstanta objevuje všude kolem nás ve formě logaritmických spirál či fraktálů. A protože se za naši školu zúčastnil obor IT, měli jsme ještě jedno překvapení pro všechny účastníky oslavy.

Posledním přispěvatelem byli v naší oslavě studenti Gymnázia Jihlava pod vedením Anny Dravecké. Ti nám ukázali nenásilnou a zábavnou formou, jak že je to s těmi derivacemi a e. Dokonce zazněla i známá matematická pohádka O zlé Derivaci.

Čtěte také: Recenze: Yamaha 125 Majesty a emise

V matematice je toho ke slavení opravdu mnoho. Navíc nás tato forma spolupráce mezi školami baví.

Eulerovo číslo a radioaktivní rozpad

Některé atomy mají nestabilní jádra, v důsledku toho se rozpadají a vznikají jádra jiných prvků a vyzařuje se přitom záření (alfa, beta gama). Přeměna neboli rozpad radioaktivní látky neprobíhá u všech jejich jader současně.

Nelze určit, které jádro a v kterém okamžiku se rozpadne. Proto zavádíme veličinu = doba, za kterou se rozpadne polovina jader radioaktivního nuklidu. Pro daný radionuklid je to konstantní, nejde ovlivnit žádnou změnou vnějších podmínek (tlak, teplota, změna skupenství apod.).

Matematický popis dané závislosti se nazývá zákon radioaktivního rozpadu:

N … počet nepřeměněných jader v čase t
N0 … počet nepřeměněných jader v čase t = 0
e … Eulerovo číslo (základ přirozených logaritmů) e = 2,718
t … čas
λ … PŘEMĚNOVÁ (ROZPADOVÁ) KONSTANTA charakteristická pro daný radionuklid
Jednotka: s-1
souvisí s poločasem rozpadu λ = (ln 2) / T = 0,693 . T-1
T ... poločas rozpadu
ln 2 … přirozený logaritmus 2

Čtěte také: Symboly pro recyklaci

Velikost poločasu rozpadu (přeměny) v praxi nabývá hodnot od zlomku sekundy až do miliardy roků, např.:

• 238U … T = 4,5 . 10⁹ roků
• 3H … T = 12,3 roků

Rozpadové (přeměnové) řady: víme, že vyzářením záření nebo se přeměňuje jádro původního nuklidu na jádro jiné (dochází ke změně protonového a nukleonového čísla). V přírodě mohou tyto přeměny probíhat řetězovitě tak dlouho, než vznikne stabilní nuklid (často Pb).

Příklady přirozených přeměnových (rozpadových) řad: Thoriová, Neptuniová, Uran-radiová, Aktiniová. Radionuklidy jsou dnes připravovány průmyslově ostřelováním atomových jader z urychlovačů a využívají se v řadě oborů (lékařství, armáda, archeologie - určení stáří vykopávek).

Další veličiny a jejich jednotky používající se v praxi:

• Aktivita radionuklidu je veličina, která udává počet radioaktivních jader, která se rozpadnou za 1 sekundu. Jednotka 1 Bq (becquerel).
• Dávka je veličina, která udává, kolik energie ionizujícího záření pohltí 1 kg látky. Jednotka 1 Gy (gray).
• Dávkový ekvivalent je veličina, která vyjadřuje biologickou účinnost jednotlivých druhů záření. Každému druhu záření přísluší tzv. jakostní faktor q. Dávkový ekvivalent se vypočítá jako součin dávky záření a jakostního faktoru. Jednotka 1 Sv (sievert), častěji mSv.

Příklady úloh

ÚLOHA 1: (Určení konečného počtu atomů) Ve vzorku radioaktivního fosforu ³²P, který má poločas přeměny 14 dnů, je 4.10¹⁸ atomů fosforu. Kolik atomů fosforu bude v tomto vzorku za 4 týdny? (10¹⁸)

Čtěte také: Co je katalogové číslo odpadu živočišného původu?

ÚLOHA 2: (Určování stáří vykopávek) V kousku starého dřeva klesl obsah radionuklidu ¹⁴C na 72 % původní hodnoty. Určete stáří dřeva, je-li poločas přeměny nuklidu 5570 roků. (2640 let)

ÚLOHA 3: (Radioizotopové vyšetření krve) Do krve člověka bylo vstříknuto nevelké množství roztoku, který obsahoval radionuklid ²⁴Na o aktivitě A0 = 2.10³ Bq. Za 5 hodin po vstřiku bylo zjištěno, že objemová aktivita krve (tj. aktivita vztažená na 1 m³ krve) je av = 265 kBq.m^-3. Poločas přeměny ²⁴Na je 15 hodin. Určete objem krve člověka v litrech. (6 litrů)

Exponenciální růst

Během velikonočních svátků panovaly mezi členy českého krizového štábu bojujícího s koronavirem obavy. Báli se, že lidé přestanou důsledně dodržovat omezení vzájemného kontaktu. Členové štábu mnohokrát během prodlouženého víkendu na lidi apelovali, aby nechodili koledovat. Měli k tomu důvod − v matematice se mu říká exponenciální růst. Dokáže zajistit, že kvůli jednomu kolednickému dni může epidemie znovu nabrat na síle.

Exponenciální růst je všude kolem nás, řídí klimatické změny, růst ekonomiky nebo vývoj technologií. Co je to exponenciální růst a jaká jsou jeho úskalí, přesně ilustruje legenda o velkovezírovi Sissovi ben Dahirovi, jenž je považován za vynálezce šachů. Hru daroval indickému králi, kterému udělala takovou radost, že velkovezírovi nabídl, aby si sám řekl, co chce za odměnu.

Dahir odpověděl, že by rád rýži, a to tak, že za první políčko šachovnice dostane jedno zrnko, za druhé dvě zrnka, za třetí čtyři, za čtvrté osm zrnek a tak dále až po poslední čtyřiašedesáté políčko. Král nadšeně souhlasil a byl rád, jak levně pořídil. Zradila ho ale intuice. Ve skutečnosti kývl na obchod, k jehož uskutečnění by potřeboval při dnešní výnosnosti rýžových polí přibližně 260 zeměkoulí. Velkovezír na rozdíl od krále chápal a znal důsledky exponenciálního růstu.

V případě šíření koronaviru se děje to samé. Pokud nedojde k žádným opatřením ze strany vlády, virus se šíří stejně, jako na šachovnici přibývá zrnek rýže. Podle statistik každý infekční člověk nakazí v průměru dva až tři další. Ze začátku − stejně jako u rýže − nejsou čísla nijak závratná. Pokud je v populaci jediný nakažený, pak po deseti dnech, což je zhruba inkubační doba viru, jsou nově infekční dva až tři lidé, které nakazil právě onen jeden člověk. Tito lidé ale nakazí podle stejného pravidla další a po šedesáti dnech už je v populaci 406 nemocných − a to byl na začátku nakažený pouze jeden jediný člověk.

Popsaný scénář rostoucího počtu nakažených počítá s přirozeným průběhem epidemie, kdy nedojde k žádným opatřením. Pokud ale zákazy či doporučeními vláda sníží sociální kontakty mezi lidmi, klesne počet osob, které jediný infikovaný na začátku dokáže nakazit. Pokud by klesl vzájemný kontakt o polovinu, za deset dní by byli jen jeden až dva infikovaní lidé a za šedesát dní pouze patnáct. V situaci bez opatření by jich bylo třicetkrát víc.

Velmi proto také záleží na tom, zda lidé opatření dodržují, a proto už nyní krizový štáb počítá s tím, že v následujících dnech začne znovu přibývat nakažených. Exponenciální růst je ze začátku pomalý a tichý, a navíc se v případě viru jeho důsledky projevují se zpožděním. Koronavirus člověka nakazí, ale první příznaky se obvykle projeví až po týdnu, někdy to může trvat i 14 dní. Proto je i tento týden vládou zveřejněný plán uvolňování opatření poměrně časově roztažený, kdy mezi jednotlivými kroky jsou jeden až dva týdny. Tento čas je nutný pro to, aby epidemiologové byli schopni zjistit, jak se virus chová.

Nyní je už jasné, proč je exponenciální růst potenciálně nebezpečný. Americký fyzik Allen Barlett vždy dodával, že právě nedocenění důsledků tohoto růstu je největší nedostatek lidské společnosti. Exponenciální růst se přitom projevuje všude v přírodě − od rozmnožování přes klimatické změny až po radioaktivní rozpad. Je přítomný v lidské společnosti od pokroku ve výpočetní technice k ekonomickému růstu.

První, kdo exponenciální růst začali hlouběji zkoumat a dosáhli průlomu, byli matematici. Vyprávěná legenda o velkovezírovi neměla šťastný konec. Král se na Dahira rozzlobil, že ho se zrnky rýže napálil, a nechal jej popravit. Matematik Jacob Bernoulli, žijící v 17. století, byl už naštěstí natolik rozumný, že se do podobných hrátek − v jeho případě s britským panovníkem − nepustil. Bernoulli na exponenciální růst narazil, když si pohrával se složeným úročením, které bylo v té době v Evropě legální teprve několik desítek let.

tags: #eulerovo #cislo #v #prirode

Oblíbené příspěvky:

• Skládka Hluboká nad Vltavou
• Dítě v ohrožení: Podrobná analýza
• Klimatické postoje Václava Klause ml.
• Přírodní park Hostivař: Historie
• Zkušenosti z Tuniska