Výpočet Emise Dluhopisů

Většina výpočtů z oblasti finanční matematiky je poměrně snadná - třeba spočítat anuitní splátku, úrokovou míru nebo třeba hodnotu cílové částky při pravidelných úložkách. Úrokové počty ale mohou být za určitých okolností poměrně složité.

Platí to zejména na peněžních a kapitálových trzích (dluhopisy) nebo u některých specificky dohodnutých úvěrů z korporátního prostředí kdy součástí komplexních finančních výpočtů je tzv. konvence počítání dnů, která určuje pro účely výpočtu kolik dnů má měsíc a rok. To má pochopitelně také význam pro účastníky kapitálových trhů.

Alikvotní Úrokový Výnos (AÚV)

Každý kupónový dluhopis má kromě jiného svou nominální hodnotu, kupónovou sazbu v % p.a. a frekvenci výplaty. Z těchto parametrů jsme schopni spočítat kupónový výnos (kolik dostaneme vyplaceno na úrocích např. za rok).

U obchodů s dluhopisy je běžné, že jej od emitenta (vydavatele dluhopisu) nebo od předchozího majitele koupíme po datu emise (uprostřed roku) nebo mezi dvěma výplatami kupónu. No a tím pádem došlo k tomu, že od data emise do data nákupu naběhnul předchozímu majiteli nějaký výnos. Úroku, který naběhnul od data emise nebo poslední výplaty do nějakého období se říká alikvótní úrokový výnos.

Upozornění: V den emise nebo v den kdy dochází k výplatě kupónu je alikvótní úrokový výnos roven 0! Pokud bychom dluhopis koupili přesně v době kdy byl emitován (případně před touto dobou nebo v den výplaty) tak cena dluhopisu bude rovna nominální hodnotě tedy 10 000 USD.

Čtěte také: Faktory ovlivňující náklady emise dluhopisů

Co je Alikvotní Úrokový Výnos?

Je to částka, která se při nákupu dluhopisu přičítá k jeho jmenovité hodnotě, aby investorovi mohl v následujícím výplatním období přijít na účet celý výnos. AÚV není poplatek! Dá se říci, že investor si zaplacením AÚV kupuje nárok na výplatu celého výnosu, včetně té části, na kterou by jinak nárok neměl, protože v době úročení ještě nebyl majitelem dluhopisu.

Alikotní úrokový výnos tak zajišťuje emitentovi i investorovi rovnovážný stav v hodnotě peněz. Emitent totiž neplatí majiteli dluhopisu úroky za období, v němž nemohl nakládat s jeho penězi, protože je ještě neměl, a majitelé dluhopisů dostávají vyplácené úroky přesně za období (počítáno na celé dny), po které dluhopisy skutečně vlastnili. Nakupovat dluhopisy totiž můžete kdykoli během upisovací lhůty.

Výpočet Hodnoty Alikvotního Úrokového Výnosu

Přesnou hodnotu AÚV získáme výpočtem, který zohledňuje výši úroku daného dluhopisu, jeho jmenovitou hodnotu i čas uplynulý od data emise či poslední výplaty úroků. Nezáleží na tom, kdy investor dluhopisy nakupuje, protože proces výpočtu AÚV se opakuje každé úrokové období (v našem modelového příkladu každý rok). V prvním úrokovém období se výpočet AÚV váže na datum emise, ve všech následujících pak už na datum výplaty úroku (kupónu).

Nejlépe si to ukážeme na konkrétním příkladě.

Informace o modelovém dluhopisu:

• Název Dluhopisu: Modelový Dluhopis
• Datum Emise: 1. 1. 2015
• Délka Dluhopisu: 5 let
• Výše úroku: 5 %
• Jmenovitá hodnota dluhopisu: 10.000 Kč
• Úrokové období: 1 rok

Investor, který si koupí Modelový dluhopis 1. 1. 2015 (nebo každého 1. 1., pokud je v emisních podmínkách určeno delší období pro prodej emise), má nárok na výplatu celého ročního úroku. Výpočet bude jednoduchý: 10 000 Kč x 5 % = roční úrok ve výši 500 Kč.

Čtěte také: Význam koeficientu ekologické stability

Investor se rozhodne nakoupit tento dluhopis 1. 7. 2015, tedy po šesti měsících od vydání dluhopisu (od data emise). Tím pádem nemá nárok na polovinu ročního úroku, v našem modelovém případě 250 Kč. Emitent ale musí vyplatit majiteli dluhopisu celou výši ročního úroku, tedy 500 Kč. Jak by k tomu ale přišel majitel dluhopisu, který jej koupil už 1. 1. 2015? Dluhopis si koupil o půl roku dříve a mají mu být vyplaceny stejně vysoké úroky? To by nebylo fér.

Proto je při nákupu k jmenovité hodnotě dluhopisu částka AÚV přičtena. Náš modelový investor tedy nakupuje 1. 7. 2015 jeden dluhopis za cenu 10 250 Kč. Protože 1. 1. 2016 mu Emitent vyplatí 500 Kč, tedy úrok za celý rok.

A pak je tu ještě druhá varianta, kdy se AÚV nepřičítá při nákupu dluhopisu, ale odečítá se při výplatě prvního výnosu. Princip je úplně stejný.

Každý dluhopis má jmenovitou (nominální) hodnotu, kterou v emisních podmínkách určil emitent. Velmi často to bývá částka 10 000 CZK, ale výjimkou nejsou hodnoty desetkrát nižší nebo vyšší. Nominální hodnota však téměř nikdy neodpovídá skutečné ceně, za kterou lze dluhopis na trhu koupit. Cena dluhopisu závisí zejména na dvou faktorech : na výši úrokových sazeb v okamžiku nákupu a na časovém posunu data nákupu vzhledem k datu výplaty dalšího kuponu.

Při nabídce k nákupu/prodeji se cena dluhopisu se uvádí standardně v procentech nominální hodnoty, tj. např. "103,20", což znamená, že za jeden kus dluhopisu zaplatíme 103,20% jeho nominální hodnoty. To však není koncová cena. K této částce je nutné přičíst tzv. naběhlý úrok (označovaný též jako alikvotní úrokový výnos, AUV).

Čtěte také: Objem nádob a třídění odpadu

První část ceny, uváděná v procentech, se označuje jako čistá cena a její pohyb je určen zejména změnami úrokových sazeb. Používá se při kotování cen mezi velkými obchodníky, kteří tzv. tvoří trh, tedy vzájemným obchodováním průběžně vytvářejí reálnou cenu určité emise pro nákup a prodej. Od této tržní čisté ceny se odvíjí čistá cena, která je nabízena koncovým investorům, po započítání obchodní marže toho, kdo obchody zprostředkovává.

Naběhlý úrok se uvádí vždy k datu vypořádání obchodu, protože celkovou částku investor zaplatí za dluhopis v den vypořádání obchodu. Když přičteme naběhlý úrok k nominální hodnotě dluhopisu, kterou jsme násobili jeho čistou cenou, dostaneme celkovou částku na nákup či za prodej dluhopisu. Celkové ceně dluhopisu v CZK nebo v procentech nominální hodnoty se říká hrubá cena dluhopisu.

Výpočet naběhlého úroku je technická záležitost a řídí se určitými konvencemi. U většiny našich dluhopisů zhruba měsíc před výplatou kuponu nastane ve vývoji naběhlého úroku zlom : naběhlý úrok za 11 měsíců skočí do záporné hodnoty ve výši úroku za jeden měsíc.

Pro investora to znamená toto : poslední den, kdy je naběhlý úrok maximální, a tedy z pohledu AUV dluhopis nejdražší, má držitel dluhopisu právo na výplatu dalšího kuponu.

Když se podíváme na dluhopisy prodávané na pražské burze, uvidíme tam ceny jako 102 %, 98 % a tak dále. Jedná se o ceny dluhopisů, za které si je lze koupit, vyjádřené jako % jejich jmenovité hodnoty. Důvody, proč se tržní cena dluhopisu na sekundárním trhu odchyluje od jmenovité hodnoty (přestože vyplácený úrok je stále stejný) jsou v zásadě dva. Dluhopis je pouze jedna z investičních příležitostí, kam na nějakou dobu uložit své peníze, které neustále konkurují jiné alternativy na trhu, ale dluhopisy jako takové si konkurují i samy sobě navzájem. A to i ty, které vydává ta samá firma, jen v různých časech. A to i v případě, že je tato firma v čase stále stejně kreditně kvalitní.

Druhým hlavním důvodem je pak právě změna kreditního rizika té samé firmy. Pokud se její hospodářská situace a tím pádem i bonita v čase zhoršuje, mají dnes dluhopisy této firmy menší hodnotu, než když vyšly třeba před třemi lety, protože dnes by investoři požadovaly vyšší výnos ve formě vyšší rizikové přirážky.

Odchýlení tržní ceny od jmenovité hodnoty dluhopisu může mít ale i další, druhotné důvody, a to i pokud předpokládáme v čase stejné úrokové prostředí i stejnou bonitu. Například nějaké „luxusní kousky“ se mohou na burze nabízet za vyšší než nominální cenu téměř okamžitě po úpisu, pokud byl o emisi opravdu velký zájem (jako jsme letos viděli na příkladu Českých drah nebo Accolade).

Dalším důvodem je likvidita. Většina (zejména horších) bondů na trhu není nijak závratně likvidní a proto se prodávají spíše se slevou. Když má v případě některých dluhopisů problém prodat je i samotný emitent (a to i přestože mu často za pěkné peníze pomáhá finanční distribuce), jak má pak takový bond střelit někdo, kdo si ho koupil za 10 tisíc korun? Navíc pokud se ani neprodává na burze a investor si musí kupce hledat svépomocí.

Dluhopis má na rozdíl od akcie jasně stanovené fixní výnosy, z pohledu oceňování na sekundárním trhu je ale mnohem víc neintuitivní. Představte si, že v roce 2024 držíte šestiletý dluhopis ve jmenovité hodnotě 10 tisíc korun úročený sazbou 12 % p.a., který vyšel v roce 2023 a má tedy ještě pět let do splatnosti.

Nyní si představte, že tento dluhopis vyšel v době vyšších úrokových sazeb, než jsou ty současné. Ta samá firma nyní za nové a stejně kvalitně připravené pětileté dluhopisy nabízí 10 %, což je oproti minulému roku, kdy emitovala ty samé bondy za 12 % ročně, docela propad. Předpokládejme, že pokles nabízeného výnosu je dán změnou úrokových sazeb v ekonomice, a nikoliv zlepšením její bonity, která je stejná jako před rokem.

Máme tedy dluhopis úročený 12 % ročně a nové bondy stejné kvality se stejnou dobou do splatnosti se nabízí za 10 % ročně. Těchto 10 % je naše IRR (internal rate of return), nebo u dluhopisů také YTM (yield to maturity). V podstatě jde o minimální zhodnocení dané investice, které jsou investoři ochotni akceptovat.

Jak tedy kalkulovat tržní cenu? Pro zjednodušení předpokládáme roční frekvenci výplaty bondů, i když v praxi jsou často úročeny pololetně i čtvrtletně. Pro výpočet tržní ceny dluhopisu musíme nejdřív identifikovat budoucí peněžní toky. Tyto cash inflow toky musíme diskontovat očekávanou výnosovou mírou (v tomto případě oněch 10 %, tedy IRR) k jejich současné hodnotě.

Po kalkulaci dostaneme číslo 10 758 korun, což je naše současná hodnota. V podstatě to říká, kolik by někdo za dluhopis musel zaplatit, aby se mu zhodnotil 10 % ročně až do splatnosti. Nominálně sice nese úrok 12 %, ale po zaplacení vyšší ceny technicky oněch 10 % ročně. Cena je tedy 107,58 % nominálu.

Dejme si jiný příklad, kde bude tržní cena bondu naopak nižší než nominál. Pokud koupíme pětiletý bond v době emise na primárním trhu za 100 % nominální ceny a nese fixní roční výnos třeba 5 %, je IRR rovna fixní úrokové sazbě. Po nějaké době se však můžeme dostat do jiného úrokového prostředí. Pokud to otočíme a budeme nyní předpokládat, že sazby porostou, tak se nově emitované dluhopisy stejné kreditní kvality a stejné doby do splatnosti budou ve vyšším úrokovém prostředí nabízet za atraktivnější výnos, např.

Náš bond ale nese 5 % a na tom se nic nezmění. Aby tedy těmto novým a stejně kvalitním bondům emitovaným za lepší úrok mohl konkurovat, musí se prodat za nižší cenu, než je 100 % nominálu. Jenom tato sleva dokáže vyrovnat rozdíl v kuponových platbách, které nám chodí při sazbě 5 % versus při 6 procentech.

Máme tedy dluhopis nesoucí roční výnos 5 % s např. třemi zbývajícími lety do splatnosti, ale my chceme, aby nesl alespoň 6 %. Tedy aby měl IRR alespoň 6 %. Když ale dluhopis prodáme za 97,32 % nominálu (a na konci dostaneme 100 % nominálu), ony 2,68 procentní body rozdílu v ceně kompenzují právě nižší nabízený fixní roční výnos oproti tomu, co nabízí současná konkurence.

Bond má tedy jmenovitou hodnotu např. 10 tisíc korun a prodá se za 9 732 korun.

Až doposud jsme předpokládali, že dluhopisy se obchodují v den výplaty kupónu. V praxi se však dluhopisy většinou obchodují mimo tyto dny. Předpokládejme, že dluhopis z druhého příkladu prodáváme o půl roku později, než v původním příkladu. Tedy že mu zbývá pouze 2,5 let do splatnosti. Pokud si ho koupíme za původní cenu, dostaneme za půl roku roční výnos za celý uplynulý rok.

Tedy si odčekal polovinu tohoto výnosu. Pro zjednodušení předpokládejme, že rok má 365 dnů. V původním příkladu jsme bond koupili 1.1.2024 a je splatný 1.1.2027. Tedy přesně za tři roky. V době prodeje (1.1.2024) dostal prodávající svou poslední výplatu kupónu za celý předešlý rok a poté jsme dostali do ruky dluhopis my a na další výnos čekáme celý další rok.

Praxe ale bývá složitější. Dejme tomu, že dluhopis koupíme ne 1.1.2024, ale 1.7.2024, tedy o půl roku později. Frekvence výplaty je ale pro zjednodušení jen jednou ročně, vždy k 1.1. daného roku. Pokud by nám prodávající tento dluhopis prodal 1.7.2024, my bychom za půl roku (tedy k 1.1.2025) „shrábli“ výnos za celý uplynulý rok.

Dluhopis bychom ale drželi jen půl roku, tu první polovinu roku si odčekal prodávající. Kupónová výplata k 1.1.2025 za celé výnosové období (uplynulý rok) činí v našem případě 10 000 Kč x 5 % = 500 korun. Vzhledem k tomu, že kupón roste s každým dalším takto „odčekaným“ dnem (takzvaně nabíhá), a rok předpokládáme jako 365 dní, naběhne nám každý den výnos cca 1,37 korun (=500/365), což je po prvních šesti měsících přesně 250 korun.

Naše tržní cena činí v tomto novém příkladu 9770 korun bez naběhlého úroku. Tržní cena se zde trochu mění od původní hodnoty, protože bond kupujeme o půl roku později. Na dluhopisovém trhu se používají pojmy „clean price“ a „dirty price“, aby se rozlišily způsoby, jakými je cena dluhopisu uváděna mimo datum výplaty kupónu. 9770 korun je „clean price“, tedy cena bez naběhlého úroku. Kromě této ceny má ale prodávající nárok i na svou část naběhlého výnosu, tedy na svých 250 korun.

Konvence Počítání Dnů

No a nyní nastává problém, protože nejsme schopni jednoznačně spočítat počet dnů mezi daty 2016-02-01 a 2017-01-08. Principem všech těchto metod je direktivní stanovení, jakým způsobem se mají dny počítat bez ohledu na kalendářní způsob počítání. To znamená, že každá z metod stanoví kolik dní má každý rok (bez ohledu na skutečnost) a kolik dní má každý měsíc.

Metody typu 30/360 říkají, že každý měsíc má vždy 30 dnů a každý rok má 360 dnů. Počet dnů mezi 2016-02-01 a 2017-01-08 = 337 a počet dnů v roce 360. U konvencí 30/360 vždy platí, že počet dnů v měsíci je roven 30 a počet dní v roce je roven 360.

Poměrně jednoduchá metoda používaná zejména v Evropě. Bývá často označována jako Německá metoda. Americká metoda je téměř stejná s metodou 30E/360 s tím rozdílem, že má několik dodatečných okrajových situací, které musím při použití této metody zkontrolovat.

Tyto metody jsou založeny na tom, že buďto počet dnů v měsíci nebo počet dnů v roce je skutečným kalendářním počtem dnů. Tato metoda ukládá počet dnů v měsíci počítat jako skutečný počet kalendářních dnů. Počet dnů spočteme jako skutečný počet dnů mezi 2 datumy.

Emitentem je peněžní ústav. Tento typ dluhopisů je někdy považován za součást korporátních dluhopisů se specifickými právními i finančními možnostmi (např. kterou si vysvětlíme na konci této kapitoly. Doba splatnosti je do jednoho roku. Doba splatnosti se pohybuje od jednoho do deseti let. Doba splatnosti je nad deset let. Občas se stane, že emise cenných papírů probíhá formou Holandské aukce. Mějme emisi T-bills v objemu \(5\) miliard kusů.

kolik kusů požadují a jakou chtějí roční úrokovou sazbu. Investoři se seřadí vzestupně podle požadované roční úrokové sazby. Poté se postupuje od nejmenší roční úrokové sazby, dokud se nenaplní nabízený objem kusů.

tags: #vypocet #emise #dluhopisu #vzorec

Oblíbené příspěvky:

• Význam říček v přírodě
• Změny v příloze č. 2 zákona o ochraně ovzduší
• Odpad v České republice
• Recyklace železničních pražců
• Význam Matky Přírody