Pravidelný šestiúhelník a jeho příklady v přírodě

Pokud se snažíme rovinu zaplnit beze zbytku rovinnými obrazci, pak hovoříme o tzv. teselaci nebo mozaice, dlažbě.

Teselace pravidelnými n-úhelníky

Otázkou je, zda je takových pravidelných n-úhelníků, které pokryjí rovinu, více. Pokud bychom chtěli rovinu překrýt jen jedním druhem pravidelného rovinného obrazce, pak se nám to podaří se čtvercem, rovnostranným trojúhelníkem a pravidelným šestiúhelníkem. Aby byla rovina zcela pokryta, je nutné, aby 360° (plný úhel) byl dělitelný velikostí vnitřního úhlu pravidelného n-úhelníku. Při dosazení n = 3, n = 4 a n = 6 to platí.

Rovinu také můžeme pokrýt nepravidelnými n-úhelníky.

Pokrytí roviny čtverci, pravidelnými trojúhelníky a pravidelnými šestiúhelníky. Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová.

Pokrytí roviny nekonvexním čtyřúhelníkem a nepravidelným trojúhelníkem. Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová.

Čtěte také: Nádoby na tříděný odpad

Pokud tedy chceme určit jaké pravidelné útvary pokryjí rovinu, pak stačí najít tři čísla x, y, z, která jsou řešením této neúplné (diofantické) rovnice. Řešení této rovnice je sice podmínka nutná, ne však dostačující.

K odvození existujících teselací. Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová.

Pokud si nakreslíme trojúhelník, pak v bodě A se potkávají pravidelný sedmiúhelník, trojúhelník a 42-úhelník. V bodě B také, ale v bodě C nikoli. Tam se potkávají pravidelný trojúhelník a dva sedmiúhelníky. To je ale špatně. Proto můžeme tuto a podobné varianty vyškrtnou. Teselace tvoření dvěma nebo třemi pravidelnými n-úhelníky. Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová.

Konvexní šestiúhelníky a teselace

Objev, které konvexní šestiúhelníky vytvářejí teselaci, je připisován Karlu Reinhardtovi, který ve své dizertační práci z roku 1918 našel řešení tohoto problému. Rovinné teselace vytvářejí právě tři typy konvexních šestiúhelníků. (Typem se rozumí takový šestiúhelník, který vyhovuje podmínkám pro velikost stran a vnitřních úhlů.) Podobně stanovil Reinhardt pět typů pětiúhelníků vytvářejících rovinné teselace.

Dlouho se považovala tato klasifikace za uzavřenou. Až v roce 1968 doplnil Richard Kershner počet pětiúhelníkových teselací o další tři typy, Martin Gardner v roce 1975 o jednu, Marjorie Rice o čtyři, Rolf Stein o jednu a poslední pochází z roku 2005 a na jejím objevu se podíleli Casey Man, Jennifer McLoud a David Von Derau.

Čtěte také: Dobrodružství s albatrosy v knihách

Patnáct pětiúhelníkových teselací. Zdroj: commons.wikimedia.org. K odvození existujících teselací. Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová.

Aperiodické teselace

Kromě periodických teselací existují i teselace neperiodické a aperiodické. Zastavme se u aperiodických. To jsou takové, v nichž se opakuje konečný počet tvarů dlaždic, ale nenalezneme žádnou opakující se část.

První pokusy o nalezení aperiodické sady dlaždic pochází z roku 1966 od Roberta Bergera, který použil sadu dlaždic Hao Wanga. Tyto dlaždice jsou čtvercové a mohou mít buď obarvené hrany, nebo čtyři různobarevné pravoúhlé trojúhelníky, které vzniknou díky uhlopříčkám. Příklad Wangovy sady dlaždic a Wangova teselace. Zdroj: commons.wikimedia.org. Autor: Claudio Rocchini.

V roce 1974 Roger Penrose vytvořil tři sady dlaždic, ze kterých lze za určitých podmínek sestavit aperiodickou teselaci. První sada obsahuje šest dlaždic. Druhá sada obsahuje dvě dlaždice ve tvaru čtyřúhelníku, jedna ve tvaru draka a druhá ve tvaru šipky. Druhá Penroseova teselace. Zdroj: commons.wikimedia.org.

Třetí Penroseovu teselaci tvoří dva kosočtverce, jejichž úhly jsou 36° a 144° u jednoho a 72° a 108° u druhého. Kosočtverce se sestavují v mozaiku podle určitých pravidel. Podíl počtu větších a menších kosočtverců je v nekonečné Penrosově teselaci roven přesně zlatému řezu. Penroseova teselace. Zdroj: commons.wikimedia.org.

Čtěte také: Více o rizicích v přírodě

Jako první přišel se souvislostí Penrosovy teselace a kvazikrystalů Alan MacKay v roce 1981. V roce 1984 Peter Kramer a Reinhardt Neri a nezávisle na nich Dov Levine a Paul Steinhardt zkonstruovali třírozměrné analogon Penrosovy teselace, který má velmi úzký vztah ke struktuře kvazikrystalů.

Třírozměrná Penrosova teselace jeví ikosaedrickou symetrii a pravidelné uspořádání. Základními stavebními jednotkami třírozměrné teselace jsou dva klence neboli romboedry (tělesa omezená šesti kosočtverečnými stěnami). Vnitřní úhly v romboedrech jsou stejné jako úhly, které spolu svírají určité vazby v ikosaedrických atomech. Podíl počtu romboedrů jednoho a druhého druhu v nekonečné třírozměrné Penrosově teselaci je roven zlatému řezu.

Reference

1. ILUCOVÁ, L. História pentagonálních teselácií. In J. Bečvář, M. Bečvářová (eds.): Sborník sylabů 30. mezinárodní konference historie matematiky, Jevíčko 21. - 25. 8. 2009.
2. SEDLÁČEK, J. Nebojte se matematiky.
3. ŠVECOVÁ, R. Matematické základy tvorby ornamentálních tvarů. Diplomová práce.

tags: #pravidelny #sestiuhelnik #priklady #v #prirode

Oblíbené příspěvky:

• Test ekologických plen
• Anglická slovíčka: Příroda
• Trendy zelené ekologie
• Průvodce výběrem odpadkového koše se 2 komorami
• Druhy mechanického znečištění fasád