Fraktální geometrie: Příklady v přírodě a její využití

Když obdivujeme expozice na umělecké výstavě nebo stromy v přírodě, má to na nás uklidňující účinek. Podle dřívějších studií to souvisí s tím, jak vidíme a vnímáme přirozené vzory. Podle nové studie máme tuto vlastnost již od svých tří let.

Termín fraktál vznikl v roce 1975, když jej jako první použil matematik Benoît Mandelbrot. Fraktál vyjadřuje geometrický objekt, který je soběpodobný, přičemž má určitý opakující se tvar. Ten se na první pohled může zdát složitý. Výsledně je ovšem repetitivním užitím jednoduchých pravidel.

Rozvětvení stromu, spirála v ulitě, prsty řeky, pás hor, sněhové vločky. Sám Mandelbrot říká o své nejslavnější množině, že je to kombinace vrcholné jednoduchosti a závratné složitosti. Má nekonečně komplikovaný okraj.

Pokud daný útvar pozorujeme v jakémkoliv měřítku či rozlišení, ukrývá v sobě stále se opakující určitý charakteristický tvar a začne se nám objevovat úžasný komplikovaný vesmír plný tvarů. Fraktály patří mezi nejsložitější geometrické obrazce, které jsou nekonečné jak do hloubky, tak do šířky. Obsahují nekonečně mnoho svých zmenšených kopií, každý z nich je jedinečný a liší se od ostatních. Je to výsledek velmi jednoduchých matematických výpočtů. Jde pouze o sčítání, odčítání a násobení.

Jen je to nutné opakovat stokrát, tisíckrát, milionkrát a ještě vícekrát. Stále bychom se ponořovali hlouběji a hlouběji. I kdyby se všichni lidé pokoušeli společně dopočítat konce, nikdy by se ve svém životě nedopočítali, ani kdyby použili kalkulačku. V tom je ta krása - v nekonečnu ukrytém v konečném prostoru.

Čtěte také: Vztah Vesmírné Geometrie a Přírody

„Takže mi dovolte ukázat vám pár objektů. Toto je reálné. Jedná se o karfiol. Proč ukazuji karfiol, takovou obyčejnou a starodávnou zeleninu? Protože tak stará a pradávná jak může být, je velmi komplikovaná a velmi jednoduchá, obojí zároveň. Pokud se pokusíte karfiol zvážit, bude to velmi snadné. A pokud ho jíte, pak je váha důležitá. Ale předpokládejme, že budete chtít změřit plochu jeho povrchu. To už je zajímavější. Pokud odkrojíte ostrým nožem jeden z květů karfiolu a podíváte se na něj zvlášť, budete si myslet, že máte celý karfiol, jen menší. A pak odkrojíte znovu kousek, a znovu, a znovu, a znovu, a znovu, a znovu, a znovu. A budete pořád dostávat malé karfioly. Takže lidská zkušenost ukazuje, že kolem nás vždy byly nějaké tvary, které mají tuto zvláštní vlastnost, kdy každá část je jako celek, jen menší. A jak myslíte, že se k tomu lidstvo postavilo?

Fraktály jsou nezbytnou součástí přírody, jsou něčím, co příroda vytvořila. A možná nejpřekvapivější: i naše myšlenky a mezilidské vztahy jsou fraktální. Každé setkání obsahuje otisk všech předchozích. Jejich předností je fascinující a složitá krása.

Krása fraktální geometrie nezná hranic. Když se díváme na fraktál, díváme se vlastně do zrcadla přírody. Je to matematická meditace. Cesta, jak pochopit, že i my jsme součástí většího vzoru. Blake intuitivně pochopil to, co Mandelbrot později popsal matematikou - že v každé malé části je obsažen celý vesmír.

Příště, až budete krájet karfiol nebo pozorovat sněhovou vločku, zastavte se. Držíte v rukou nekonečno. Dotýkáte se matematické poezie vesmíru. A možná pochopíte, že i váš život - se všemi jeho omezeními a hranicemi - je krásným fraktálem. Každý den obsahuje otisk celého života. Každé setkání nese echo všech setkání. Každá bolest i radost jsou součástí většího vzoru, který možná nikdy neuvidíme celý, ale který je krásný právě svou neúplností.

„Ve fraktálech vidím důkaz, že matematika není chladná věda, ale živoucí jazyk, kterým k nám mluví vesmír. Co jsou fraktály? Dr. Ing. na menší části vykazuje tvarovou podobnost s těmito částmi. objekty se zabývá samostatná vědní disciplína nazývaná fraktální geometrie. geometrie je znám od konce 70. století. Za jejího zakladatele je dnes považován matematik Benoit B. Mandelbrot, který jako první matematicky definoval pojem fraktál.

Čtěte také: Geometrie v přírodě: Historický přehled

Fraktál lze nejjednodušeji definovat jako nekonečně členitý útvar. objekt vypadá stejně, ať se na něj díváme v jakémkoliv zvětšení. a většinou je také považována za jejich definici. vyhledávání fraktálních útvarů v přírodě. neživé přírody. určité transformaci (změna měřítka, rotace, posunutí, zkosení). Soběpodobné množiny jsou invariantní vůči změně měřítka. Při libovolném zvětšení, či zmenšení vypadají podobně. vzniká opakováním téhož motivu. vytvářena i pomocí velmi jednoduchých pravidel.

Fraktály patří mezi nejsložitější geometrické obrazce, které jsou nekonečné jak do hloubky, tak do šířky. Obsahují nekonečně mnoho svých zmenšených kopií, každý z nich je jedinečný a liší se od ostatních.

Jejich předností je fascinující a složitá krása. Krása fraktální geometrie nezná hranic. Když se díváme na fraktál, díváme se vlastně do zrcadla přírody. Je to matematická meditace. Cesta, jak pochopit, že i my jsme součástí většího vzoru.

Příklady fraktálů v přírodě

• Kapradí: Každý list kapradiny je složen z menších lístků, které mají stejný tvar jako celý list.
• Strom: Strom má větve, které se dále rozdělují na menší větve až po listy a květy.
• Šnečí ulita: Šnečí ulita je spirála, která se postupně zvětšuje podle matematického vzorce.
• Sněhová vločka: Sněhová vločka je krystal ledu, který má šest cípů. Každý cíp je složen z menších cípů, které mají také šest cípů.
• Cévní systém je soustava cév, které rozvádějí krev po těle. Cévní systém má složitou strukturu, která se skládá z tepen, žil a kapilár.
• Blesk je příkladem fraktálu, protože se podobá sám sobě na různých stupních zvětšení.

Galaxie, planetární prstence, krátery a asteroidy jsou příklady fraktálů v kosmickém měřítku. Galaxie mají spirální nebo eliptické tvary, které se opakují na různých úrovních. Planetární prstence jsou tvořeny mnoha malými částicemi, které obíhají kolem planety v pravidelných vzorech. Krátery a asteroidy mají nepravidelné tvary, které jsou ovlivněny gravitací a srážkami.

Brownův pohyb, turbulence, seismické vlny a populace jsou příklady fraktálů v dynamických systémech. Brownův pohyb je náhodné pohybování částic v kapalině nebo plynu, které je způsobeno srážkami s molekulami. Turbulence je nepravidelné proudění tekutin nebo plynů. Seismické vlny jsou vlny energie, které se šíří zemskou kůrou při zemětřeseních nebo sopečných erupcích. Populace jsou soubory jedinců stejného druhu, které se mění v čase podle různých faktorů.

Čtěte také: Souvislosti geometrie a přírody

Využití fraktálů

Fraktální umění je druh grafiky, která používá fraktály pro vytváření originálních a barevných obrazů. Fraktální vzory nacházíme v dílech Římanů, Egypťanů, Aztéků, Inků a Mayů. Fraktální vzory lze nalézt i v historických stavbách, jako jsou hinduistické chrámy nebo gotické katedrály. Například francouzské gotické katedrály nejenže následují euklidovské geometrické vzory, ale také mají obecný náhodný fraktální vzor.

Fraktály mají široké spektrum využití v informačních technologiích, například v počítačové grafice, kompresi obrazů, šifrování dat a decentralizovaných sítích. Fraktály také zlepšují bezpečnost a spolehlivost přenosu a ukládání dat.

Možná nevědomky byla fraktální geometrie použita při návrhu podoby několika obrovských měst. Místo živelné výstavby měst se v tomto případě architekti řídili záměrem, aby bylo možné města dále rozšiřovat bez některých negativních dopadů na jejich centra či naopak periferní oblasti (typicky se jedná o dopravní problémy). Výsledkem těchto snah byl návrh hierarchicky členěných ulic. Celý půdorys města byl rozdělen na velké čtverce o straně několika kilometrů. Čtverce byly následně rozděleny do čtyř menších čtverců a opět se po hranách vytvořily ulice, tentokrát již užší a s menší dopravní kapacitou.

S fraktály se můžeme setkat i při zpracování obrazu, například je možné použít Hilbertovu křivku (či podobný liniový objekt vyplňující plochu) při snižování počtu barevných odstínů pomocí ditheringu.

Velmi zajímavou aplikací fraktálů v technické praxi jsou takzvané fraktální antény. Jedná se o speciálně zkonstruované antény, jejichž tvar je odvozen od nějakého L-systému (například křivky Helge von Kocha) - jejich vlnová délka je tedy různá. Tyto antény se vyznačují širokým pásmovým rozsahem a přitom jsou malé a kompaktní, což je předurčuje k využití například v mobilní technice nebo v armádě.

Už Benoit B. Mandelbrot ve své první knize o fraktálech uvedl jednu z možností aplikace fraktální geometrie. Jedná se o způsob umisťování součástek s velkou integrací na plošných spojích. Jedním z velkých problémů je návrh vodivých cest mezi jednotlivými součástkami (například mezi mikroprocesorem a pamětí). Mandelbrot navrhl metodu, při které se součástky s největším počtem vývodů rozmístí po spoji v pravidelné mřížce, poté se v menší mřížce provede rozmístění součástek s menší integrací (resp. s nižším počtem vývodů, což bývá totéž) a tímto způsobem, tj. rozmisťováním součástek s menší integrací do mřížky s menším rozměrem, se celý plošný spoj naplní.

Posledních několik let můžeme vidět snahu využít fraktály a fraktální geometrii i v biologii, biochemii a medicíně. Například při zkoumání některých vlastností krve se měří Hausdorffova dimenze jejích částeček.

Fraktály odrážejí složitost a krásu světa, stejně jako potenciál lidského rozumu. Fraktály nejsou jen matematické konstrukty, ale i živé organismy, které se neustále rozvíjí a mění.

tags: #fraktální #geometrie #příklady #v #přírodě

Oblíbené příspěvky:

• Domaines Ott*: Historie a odkaz Jean-François Otta
• Protokol o měření emisí v ČR
• Výběr rostlin na slunce
• Urychlovač kompostu: Průvodce použitím
• Kurz Sylabus