Geometrická řada v přírodě

Geometrie v přírodě je tak přirozená jako příroda sama. Jen se zkuste někdy na chvíli zastavit a podívat se kolem sebe. I když se často hovoří o divoké, nezkrocené přírodě, při bližším pohledu zjistíte, že příroda ráda používá geometrické principy a dává přednost jasným pravidlům.

Geometrické objekty nemusí být vytvořeny jen lidskýma rukama. V neživé přírodě nejsou geometrické tvary až takovým překvapením. Třeba takové sněhové vločky. Malá umělecká díla přírody jsou nesmírně rozmanitých tvarů, ale všechny mají jedno společné, jsou vždy šestihranné. Vědci to připisují molekulární struktuře vody, která při tvorbě krystalů umožňuje pouze úhly přesně 60° nebo 120°. Podobné to je i tvary jsou čtverec, obdélník nebo dokonce krychle. Zatímco v říši zvířat nebo rostlin by vznikly pravděpodobně jen dílem náhody. Například nejběžnější krystalickou formou pyritu, známou také jako kočičí zlato, je kostka. A jeho povrch je tvořen šesti čtverci.

Optimální tvary

Zajímavý případ jsou včelí plástve. Čerstvě postavené buňky nejsou šestihranné, nýbrž především kulaté. Ale pak včely svým tělesným teplem zahřejí tenké stěny ohřejí na přibližně 40 °C a vosk začne pracovat. Na hranici mezi dvěma články dochází k něčemu podobnému, jako když se setkají dvě mýdlové bubliny stejné velikosti. Vytvoří se energeticky příznivá, rovná řezná plocha.

Vlastně se uspořádají samy a s udivující pravidelností, všechny úhly jsou 120 stupňů, dokonce i tloušťka buněčných stěn je téměř všude téměř stejná 0,07 milimetru. Optimální jsou i materiálové nároky a využití prostoru, šestiúhelníky mají téměř o deset procent menší obvod než čtverce pro stejnou plochu a na rozdíl od kruhů využívají celou dostupnou plochu.

Fibonacciho posloupnost

Ale geometrické tvary a pravidla najdeme i v živé přírodě. Taková ulita loděnky obsahuje nejen všudypřítomnou Fibonacciho posloupnost, ale také logaritmickou spirálu, která se zdá být založena na zlatém obdélníku starověku. Totéž platí pro mnoho jiných šnečích ulit.

Čtěte také: Změna klimatu: příznaky a dopady

Zmíněná Fibonacciho posloupnost, pojmenovaná po italském matematikovi, je nekonečná řada čísel, která začíná čísly 0 a 1. Všechny následující členy se rovnají součtu jejich dvou předchůdců. Ano, je to matematická řada, ovšem v říši rostlin jí najdeme poměrně často. Třeba v květu slunečnice jsou semena uspořádána do levotočivých a pravotočivých spirál, jejichž počet vždy odpovídá sousedním Fibonacciho číslům.

Nejběžnější je 55 pravotočivých a 34 levotočivých spirál, vzácnější jsou typy s 21 a 34 spirálami nebo dokonce 144 a 233 spirálami. Ale vždy Fibonacciho čísla. Tato zásada platí nejen pro slunečnice, ale také pro sedmikrásky, šišky, zelí nebo ananas. Všude najdeme doleva a doprava se otáčející spirály, jejichž počet odpovídá číselné hodnotě dvou sousedních Fibonacciho čísel.

Co je Fibonacciho posloupnost?

Fibonacciho posloupnost je nekonečná řada čísel, která začíná dvěma jedničkami (nebo nula a jedna, v závislosti na definici). Každé další číslo v posloupnosti je součtem dvou předcházejících čísel.

Fibonacciho posloupnost je pojmenována po italském matematikovi Leonardovi z Pisy, známém jako Fibonacci, který ji popsal ve své knize Liber Abaci v roce 1202. Ačkoli Fibonacci nebyl prvním, kdo tuto posloupnost objevil (objevila se již v indických textech kolem 6. století), jeho práce přispěla k jejímu zpopularizování v Evropě.

Fibonacci původně studoval tuto posloupnost při řešení problému týkajícího se rozmnožování králíků, kde se snažil modelovat růst populace králíků za ideálních podmínek.

Čtěte také: Řešení znečištění

Zlatý řez a Fibonacciho posloupnost

Jedním z nejzajímavějších aspektů Fibonacciho posloupnosti je její vztah ke zlatému řezu (phi, φ). Poměr dvou po sobě jdoucích čísel Fibonacciho posloupnosti se s přibývajícími čísly blíží hodnotě zlatého řezu, který je přibližně 1,6180339887. Tento vztah je jedním z důvodů, proč Fibonacciho posloupnost nachází uplatnění v přírodě, architektuře a umění.

Základní vlastnosti Fibonacciho posloupnosti

• Rekurzivní povaha: Každý člen posloupnosti je definován jako součet dvou předchozích členů.
• Rychlý růst: Fibonacciho čísla rostou exponenciálně, což znamená, že hodnota čísel rychle narůstá.
• Zlatý řez: Poměr dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel se blíží hodnotě zlatého řezu.
• Matematická struktura: Fibonacciho posloupnost má bohatou algebraickou a geometrickou strukturu, která zahrnuje vztahy s binomickými koeficienty, Lucasovými čísly a Pascalovým trojúhelníkem.

Praktické využití Fibonacciho posloupnosti

Fibonacciho posloupnost je hojně zastoupena v přírodě. Mnoho přírodních jevů, jako je uspořádání listů na stonku, struktura šišek, květů nebo růst mušlí, sleduje pravidla této posloupnosti. Toto uspořádání minimalizuje překrývání a maximalizuje efektivitu růstu.

• Střed slunečnice je učebnicí Fibonacciho matematiky.
• Spirály po směru hodin: spočítáte jich 21, 34 nebo 55
• Spirály proti směru: najdete 34, 55 nebo 89

Vždy to jsou sousední Fibonacci čísla! Toto uspořádání umožňuje napěchovat maximum semen do omezeného prostoru. Každá komora je 1,618× větší než předchozí. Tento poměr vzniká dělením sousedních Fibonacci čísel! Stejnou spirálu mají hlemýždi, některé mušle i galaxie ve vesmíru. Je to nejefektivnější způsob, jak růst a přitom si zachovat tvar.

Podívejte se na jakýkoliv strom. Kmen se dělí na větve, větve na větvičky. Listy vyrůstají v přesných intervalech:

• Javor: každý 2. list (protilehlé páry)
• Buk: každý 3. list
• Dub: každý 5. list
• Vrba: každý 8. list

Všechno Fibonacci čísla! Díky tomu každý list dostane slunce.

Čtěte také: Sidolux Ekologická Řada

Většina květin má Fibonacciho počet okvětních lístků:

• Lilie 3
• Pryskyřník 5
• Sedmikráska 8
• Kopretina 13, 21 nebo 34
• Astra 21, 34, 55 nebo 89

Ananas je mistrovské dílo Fibonacciho geometrie. Listy na stonku rostliny nebo větvičky rostou tak, aby byly co nejvýhodněji natočeny pro dopad slunečních paprsků, dešťových kapek a přístupu vzduchu. Vertikální stonek vytváří při svém růstu listy ve zcela pravidelném uspořádání. Listy ale nerostou přímo nad sebou, protože tím by horní listy bránily v dopadu slunečních paprsků a kapek deště na listy spodní.

Jabloně, pobřežní duby a meruňka mají listy umístěné po každých jedné otočky spirály, zatímco hrušně a smuteční vrby je mají každé otáčky.

Krásnou ukázkou fylotaxe založenou na členech Fibonacciho posloupnosti je kůra ananasu. Každý šestiúhelníkový dílek povrchu kůry patří do tří různých spirál. Počty jednotlivých typů spirál jsou přitom vyjádřeny členy Fibonacciho posloupnosti.

Rozmístění pupenů (listů nebo větviček) podél spirály s úhlem otočení je nejefektivnější, jaké může být. Úhel totiž není racionálním násobkem .

Holandský matematik Gerrit van Iterson dokázal ve svém díle z roku 1907, že když těsně seskupíme po sobě jdoucí body, které se na hustě vinuté spirále vydělují v úhlech , spatříme jednu skupinu spirál směřujících ve směru chodu hodinových ručiček a druhou skupinu spirál stáčejících se opačným směrem. Počty spirál obou těchto skupin jsou učeny dvojicí po sobě jdoucích členů Fibonacciho posloupnosti. Jejich poměr se pak blíží zlatému řezu. Tyto spirály jsou vidět také na uspořádání semínek slunečnice.

Fibonacciho čísla a zlatý řez jsou často používány při navrhování staveb, maleb a soch, protože zlatý řez je považován za esteticky příjemný. Například slavné stavby jako Parthenon v Athénách nebo pyramidy v Gíze využívají proporce založené na zlatém řezu.

V oblasti informatiky se Fibonacciho posloupnost používá například při návrhu algoritmů pro efektivní vyhledávání nebo třídění dat. Fibonacciho haldy jsou speciální datové struktury používané při optimalizaci grafových algoritmů, jako je Dijkstrův algoritmus.

Fibonacciho retracementy jsou oblíbeným nástrojem v technické analýze finančních trhů. Tyto retracementy se používají k predikci úrovní podpory a rezistence při obchodování s akciemi, komoditami nebo měnami.

Někteří hudební skladatelé, jako například Béla Bartók nebo Olivier Messiaen, využívali Fibonacciho posloupnost při komponování hudebních děl. Fibonacciho čísla mohou ovlivnit rytmus, délku skladby nebo strukturu hudebních frází.

Klavír má:

• 88 kláves (blízko 89 - Fibonacci číslo)
• Černé klávesy ve skupinách po 2 a 3
• Oktáva má 13 půltónů

Beethoven použil zlatý řez v 5. symfonii.

Další příklady

• Spirální galaxie se točí podle Fibonacciho spirály
• Hurikány vytváří stejný tvar
• Některé planetární dráhy mají periody v Fibonacciho poměrech

Převod mil na kilometry:

• 5 mil ≈ 8 km
• 8 mil ≈ 13 km
• 13 mil ≈ 21 km

Fibonacciho posloupnost a život: Co nás Fibonacci učí o životě?

• Že velké věci začínají malé. První dvě čísla jsou jen 0 a 1. Ale z nich vyroste nekonečno.
• Že minulost tvoří budoucnost. Každé číslo potřebuje dvě předchozí. Nemůžeme zapomenout, odkud jsme přišli.
• Že růst má svůj rytmus. Ne lineární, ne chaotický. Organický. Jako dýchání.
• Že v omezeních je krása. Pro ty z nás, kdo žijí s omezeními, je Fibonacci mocnou metaforou.

Ukazuje, že:

• I z malých začátků může vyrůst něco velkého
• Opakování není nuda, ale způsob růstu
• Pravidla nevylučují krásu - vytvářejí ji
• Pomalý růst je přirozený růst

Když se díváte na Fibonacciho spirálu, vidíte, že se neustále vrací k sobě, ale pokaždé o něco větší. Fibonacciho čísla mají uklidňující rytmus.

Fibonacci nám ukazuje paradox - z konečného vzorce vzniká nekonečná složitost.

Možná, jen možná, když pochopíme Fibonacciho posloupnost, pochopíme něco hlubokého o povaze existence. O tom, jak vesmír roste. O tom, jak rosteme my.

Fibonacci není jen matematika. Je to příběh o tom, jak malé věci vytvářejí velké.

Fraktální geometrie

Další způsob, jak zobrazit tvary a vzory, které se vyskytují v přírodě, je fraktální geometrie. K tomuto účelu se používají abstraktní vzory, které se zase skládají z menších a větších vzorů. Formy, které jsou ve své stavební struktuře téměř identické a mohou pokračovat v nekonečnu. Známým fraktálem je třeba list kapradiny nebo květenství květáku druhu Romanesco, jež má prvky s vysokým stupněm podobnosti a tím i fraktální strukturu.

Bilaterita

V biologii známe i bilateralitu. Což je situace, kdy jsou levá a pravá polovina organismu navzájem zrcadlově symetrické. Touto základní formou se řídí přibližně 95 procent mnohobuněčných živočichů. Z řady vybočují většinou vodní organismy, jako jsou asymetrické houby nebo radiálně symetričtí žahavci, třeba medúzy.

Symetrie

Ostatně symetrii najdeme často i ve vzorech srsti nebo povrchu těla. Především, když má zvíře potřebu se zviditelnit. Vzpomeňte si třeba na výrazné varovné vzory na těle vos, sršní nebo mloků skvrnitých. Symetrie může být překvapivě užitečná i jako maskovací efekt (mimikry). To, když třeba symetrické pruhy vystoupí do popředí tak, že odvádí pozornost od obrysů těla.

tags: #geometrická #řada #v #přírodě

Oblíbené příspěvky:

• Nahlášení znečištění komunikace v ČR
• Recenze koše Rotho 50 l
• Návod: Wi-Fi v Přírodě s Notebookem
• Instalace odpadu pračky
• Postup výměny odpadu a kanalizace