Exponenciální funkce v přírodě a matematice

U lineárních nebo kvadratických funkcí tvořil polynom zápis funkce. V této stati se budeme věnovat exponenciální funkci, její definici, vlastnostem a využití.

Definice exponenciální funkce

Předpokládejme, že \(a\) je kladné reálné číslo. Soustředíme se na studium funkcí \(y=a^x\); budeme předpokládat, že je \(a>0\). Je-li \(a=1\), pak pro každé \(x\in R\) je \(1^x=1\), a jde tedy o známý případ konstatní funkce.

Definice 1. Exponenciální funkce je matematická reálná funkce ve tvaru , kde kladná reálná konstanta různá od jedné je nazývána základ a reálná nezávisle proměnná (argument) je nazývána exponent, definici lze ovšem rozšířit na komplexní exponenty i na složitější objekty, zejména lineární operátory.

Inverzní funkcí k exponenciální funkci je funkce logaritmus .

Vlastnosti exponenciální funkce

• Číslo \(a\) ovlivňuje tvar exponenciální funkce, protože pokud je z intervalu (0;1), tak je funkce klesající, pokud je větší než 1, pak je funkce rostoucí.
• Specifický bod této funkce má souřadnice [0;1]. Víme, že v bodě \(x=0\) je hodnota této funkce rovna jedné.
• Exponenciální funkce má také svou asymptotu, tedy přímku, ke které se graf funkce přibližuje, ale nikdy se jí nedotkne (resp. v nekonečnu) a tou je osa x.
• Jak jsme již zmínili, exponenciální funkce je rostoucí nebo klesající podle hodnoty svého základu.
• Funkce je prostá, lze z ní vytvořit funkci inverzní.
• Platí \(4^x=(2^2)^x=(2^x)^2\).

Transformace grafu exponenciální funkce

Exponenciální funkce zdaleka nemusí být jen v základním tvaru, ale ve složitějších podobách jako je např.:

Čtěte také: Růst a ekologie

• Číslo, které stojí před výrazem s mocninou (-2) posouvá graf funkce ve svislém směru.
• Číslo, které stojí za proměnnou v exponentu (1) posouvá graf funkce ve vodorovném směru.
• Hodnota, která násobí výraz s mocninou (4) deformuje graf ve svislém směru vůči vodorovné asymptotě.

Využití exponenciální funkce

Exponenciální funkce neustále zrychluje svůj exponenciální růst resp. zpomaluje svůj exponenciální pokles.

Exponenciální funkce v přírodě

V přírodě se exponenciální růst vyskytuje například u šíření virů, např. nástup epidemie chřipky, exponenciální pokles se pak vyskytuje při jejím ústupu, nebo růst dělení buněk v ideálním prostředí (růst však není nekonečný, ale narazí dříve či později na limity prostředí).

Exponenciální funkce v ekonomii

V ekonomii je exponenciální růst u složeného úročení nebo u žádoucího průběhu ukazatele zvyšování odbytu nově uváděného zboží na trh v první fázi růstu, kde se později růst exponenciálně zpomaluje, k modelování průběhu ukazatele lze pak použít např.

Radioaktivní rozpad

Proces radioaktivní přeměny rádia A je spojitý v čase. Poločas přeměny radia A je přibližně 183 sekund. Označíme-li výraz \(\sqrt[183]{0.5}\) pro stručnost např.

Tato funkce je částí tzv. kde \(m_0\) značí počáteční hmotnost látky v čase 0 sekund a \(T\) je tzv.

Čtěte také: Využití exponenciální závislosti

Exponenciální funkce na komplexní rovině

• Stejně jako v reálném případě, exponenciální funkce může být definována na komplexní rovině několika ekvivalentními způsoby.
• Přechod ze tmavých do světlých barev ukazuje, že velikost exponenciální funkce se zvětšuje na pravé straně.
• Exponenciální funkce je celá funkce neboť je holomorfní na celé komplexní rovině.
• Každé komplexní číslo kromě 0 má při exponenciální funkci svůj vzor; to znamená, že 0 je lacunární hodnota exponenciální funkce.

pro všechna komplexní čísla z a w. To je také vícehodnotová funkce, a to i když z je reálné. Tento fakt je poněkud problematický, neboť vícehodnotové funkce ln z a zw lze lehce zaměnit s jejich jednohodnotovými ekvivalenty dosazením reálného čísla za z.

Exponenciální funkce zobrazuje každou přímku v komplexní rovině na logaritmické spirály v komplexní rovině se středem v počátku.

Derivace exponenciální funkce

Významnou roli má exponenciální funkce s takovým základem, že funkce je přesně rovna své derivaci. Derivace exponenciální funkce je rovna hodnotě funkce.

Tečna (červená) vedená libovolným bodem P grafu funkce (modrá) tvoří s kolmicí o velikosti h (zelená) pravoúhlý trojúhelník o základně b na ose x. Vzhledem k tomu, že sklon červené tečny (derivace) v bodě P se rovná poměru výšky trojúhelníku k základně trojúhelníku a derivace je rovna hodnotě funkce, musí se h rovnat poměru h a b.

Čtěte také: Důsledky exponenciálního zrychlení emisí

tags: #exponenciální #funkce #v #přírodě #vysvětlení

Oblíbené příspěvky:

• Učebnice populační ekologie
• Japonská technika sashiko
• Jak funguje ekologický štítek EEC?
• Ekologická kosmetika
• Pohled na metodiku a přírodu očima Vojtěcha Zeiska